乱流のモデル化


乱流のモデル化

自然界の流れの大多数は乱流です。ここで、流動過程の数値モデルで乱流を表現する必要はあるのか、という疑問が生じます。あいにく、この疑問には簡単な答えはなく、モデル化を行う場合は工学的判断を下す必要があります。以下で、この疑問に直面したときに考慮するべきことをいくつか述べます。

定義と桁数

乱流が発生する可能性は、通常は流れのレイノルズ数によって測定されます。

Re = \rho LU/\mu

ρは流体密度、μは流体の動粘性です。パラメータLおよびUは、流れの特性長と特性速度です。明らかに、LおよびUの選択はある程度任意であり、流れ場全体のすべての重要な機能を1つの値だけで特徴付けることはできない場合があります。覚えておくべき重要ポイントは、Reの目的が、粘性力に対する流体慣性の相対的重要性を測定することだということです。粘性力が無視できる場合、レイノルズ数は大きくなります。

LとUの選択肢として適しているのは、通常は、せん断流れが最も強い領域、つまり、粘性力が最も影響力を持つと予測される領域を特徴付ける数値です。

大まかに言うと、レイノルズ数が1000を大幅に上回る場合は乱流の可能性が高く、レイノルズ数が100を下回る場合は乱流ではありません。層流と乱流を分ける臨界レイノルズ数の実際の値は、流れの境界となる表面の性質と、流れの中の摂動の大きさによって大きく変わります。

完全乱流では、速度変動のためのスケールの範囲が存在し、これは多くの場合、さまざまな渦構造の集まりとして特徴付けられます。Lを特性長の巨視的スケールとし、lを最小の乱流渦の直径(粘性効果が優勢なスケールとして定義)とすると、これらのスケールの比率はL/l≈Re3/4と示すことができます。この関係式は、定常状態では、最小の渦が、熱に変換することによって乱流エネルギーを消散しなければならないという仮定に従っています。

乱流モデル

スケールの範囲に関する上記の関係式から、たとえばRe=104などの小さめのレイノルズ数の場合であっても、範囲は3桁分に及ぶ(L/l=103)ことが容易に確認できます。この場合、3次元の計算ですべての渦を解決するために必要なコントロールボリュームの数は、109より大きくなります。この規模の数値は、現在の計算能力をはるかに超えています。そのため、乱流の近似モデルの構築にかなりの努力が注がれてきました。

この短い記事では、乱流のモデル化について詳細には説明できません。代わりに、使用可能なモデルのタイプについて、いくつか基本的な説明を行うだけにします。ただし、汎用のモデルは存在しないことをあらかじめご了承ください。どのモデルも慎重に採用し、結果を注意深く処理する必要があります。

乱流を初めてモデル化した人物はOsborne Reynolds氏です。この件に関心がある方は、Reynolds氏の画期的な著作(Phil. Trans. Royal Soc. London、Series A、Vol.186、p.123、1895)をお読みください。Reynolds氏の洞察とアプローチは、基本的であると同時に実用的なものでした。

疑似流体近似

完全乱流では、運動量(およびその他の特性)の拡散に寄与する乱流混合過程を大まかに近似する有効乱流粘性μeffを定義できる場合があります。乱流を、粘性が増した疑似流体として考えると、乱流の有効レイノルズ数が通常は100未満であるという観察結果につながります。

Re_{eff} = \rho LU/\mu_{eff} \leq 100

この観察結果は、いくつかの乱流を近似する簡単な方法を提示しているため、特に便利です。特に、乱流の詳細は重要ではなく、乱流に関連する一般的な混合挙動が重要なときは、分子粘性の代わりに有効乱流(渦)粘性を使用できる場合があります。有効粘性は、以下の式で表すことができます。

\mu_{eff} = \alpha \rho LU

αは、0.02から0.04の間の数値です。この式は、停滞流体に入る平面噴流および円筒噴流に関連する乱流に関して効果があります。このモデルに関連する有効レイノルズ数はRe=1/α、25から50の間の数値です。

このモデルは、多くの場合、乱流の全体的な特長を予測するのには適していますが、局所的詳細を予測するのには適していない場合があります。たとえば、測定された対数プロファイルの代わりに、パイプ内の放物線状の流れ(層流など)のプロファイルを予測します。

局所粘性モデル

一定した渦粘性以上に複雑なことは、局所的条件の関数である有効粘性を計算することです。これは、粘性が局所的せん断率に比例すると仮定されるプラントル混合長仮説の基底となります。比例定数の次元は、長さの2乗です。この定数の平方根は、「混合長」と呼ばれます。

このモデルでは、シンプルな一定粘性が改善されます。たとえば、パイプ内の対数速度プロファイルを予測できます。ただし、重要な輸送効果に対応していないため、それほど多くは使用されません。

乱流輸送モデル

実践的工学の目的では、最も優れた数値モデルには2つ以上の輸送方程式があります。乱流過程の長さと時間のスケールを特徴付けるには2つの量が必要なため、最低でも2つの方程式があることが望ましいでしょう。輸送方程式を使用してこれらの変数を表現すると、乱流の生成率と破壊率を局所的にすることができます。たとえば、建造物の角のせん断力が強い領域では強力な渦が生成され、建造物の後流領域では乱流はほとんど生成されません。建造物(または自動車や飛行機)の後流で観察される強力な混合は、上流で生成された渦が後流に移流することによって生じます。輸送メカニズムがない場合、乱流は局所的条件に即座に適応しなければならないため、生成率と破壊率が非現実的な大きさになります。

ほぼすべての輸送モデルで、1つ以上の勾配の仮定が行われ、2つの変動する量の相関が、一方の項の勾配に比例する式によって近似されます。これにより、多数の小渦構造と関連付けられた乱流混合の拡散的な特長が捉えられますが、大渦構造による重大な輸送が存在する場合は、このような近似によってエラーが発生する可能性があります。

ラージエディ(大渦)シミュレーション

乱流のほとんどのモデルは、平坦化された、または時間平均された乱流の効果を近似するように設計されています。例外は、ラージエディシミュレーションモデル(またはサブグリッドスケールモデル)です。このモデルの背景には、小さすぎて格子によって解決できないものを除き、乱流の変動する詳細はすべて計算によって直接モデル化できるべきであるという考え方があります。解決されない渦は、局所的な渦粘性を使用して効果を近似することによって処理されます。通常、この渦粘性は、局所的な格子サイズおよび何らかの局所的な流れの速度の測定(ひずみ速度の大きさなど)に比例します。

このようなアプローチは、解決されないスケールが十分に小さい場合、たとえば粘性小領域にある場合などに、良い結果が得られることが期待されます。あいにく、これはまだ十分に小さいサイズではありません。これらのモデルを、粘性小領域より上の最小スケールサイズで使用した場合は、CSC (Coherent Structure Capturing)モデルと呼ばれます。

これらのより現実的なモデルのメリットは、乱流の平均的効果に関する情報だけでなく、変動の大きさに関する情報も提供されることです。ただし、このメリットはデメリットでもあります。平均は実際には多数の変動を基に計算する必要があり、また、計算の開始時、および流れが計算領域に入る境界において、有意な変動を導入するための手段を提供する必要があるからです。

工学的観点からの乱流

ここまでで、乱流のすべての詳細を計算しようとすることは、おそらく合理的ではないということを確認してきました。さらに、多くの適用例の観点からすると、個々の変動の局所的な詳細が関心の対象となることはなさそうです。そこで生じる疑問は、乱流をどのように処理するべきか、乱流モデルをいつ採用するべきか、そのモデルをどの程度複雑にするべきか、ということです。

実験的観察により、一定の最小値を超えると、多くの流れがレイノルズ数に依存しなくなることがわかりました。もしそうでないとしたら、風洞、波タンク、その他の実験ツールはそれほど便利ではなくなります。レイノルズ数の変化の主な効果の1つは、流れの分離点を移動することです。これによって、実験室での実験では、トリップワイヤまたはその他のデバイスを使用して、必要な場所に分離を誘発しなければならない場合があります。同様の処理を、数値シミュレーションでも使用できます。

多くの場合、シミュレーションは、何らかの指定された状況で発展する主要な流れのパターンを決定するために行われます。こうしたパターンは、平均流れと、流れの運動エネルギーの大部分を含む最大渦構造で構成されます。このエネルギーが大きいほうの渦から排除され、最小渦によって熱に消散される方法の詳細は、重要ではない場合があります。このような場合は、数値法に固有の消散メカニズムがあれば、それだけで、合理的な結果を得るには十分です。その他の場合は、一定の渦粘性や混合長の仮定などの単純な乱流モデルで、追加の消散を行うことができます。

乱流輸送方程式には、より多くのCPUリソースが必要なので、強力かつ局所的な乱流源がある場合や、その乱流が流れの他の重要領域に移流しそうな場合にのみ使用してください。
計算の結果に大いに疑問を感じる理由がある場合は、実験による確認を求めることをお勧めします。

流体乱流の優れた入門書をお探しの場合は、『Elementary Mechanics of Fluids』(Hunter Rouse、Dover Publications, Inc.、New York (1978))を参照してください。

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