水力エネルギー損失
この記事は、Laurent Bilodeau 氏によって寄稿されました。ハイドロ・ケベック設備の製造コンセプト。
図1．河川分水トンネルの断面における全水頭分布
総水力エネルギー
ベルヌーイの式
水力エネルギー、eGは流れ中の水粒子のポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの合計です。これはエネルギー密度であり、J/m³で表され、ベルヌーイの方程式(式1)によって与えられます。 (1)
ここで記号の意味は次の通りです。
- eG 水力エネルギー密度（J/m³）
- p 圧力（Pa ≡ N/m²≡J/m³）
- g 重力加速度（-9.81 m/s²）
- ρ 密度（kg/m³）
- u、v、w x、y、z方向の速度（m/s）
- z 基準面からの高さ（メートル）、または高度
水力エネルギーの簡略化されたカスケード
図2．上流の貯水池から堰を経て整流池へ移動する水粒子の部分的な軌跡。
図2に示すように、堰から池に流れ込む流れの事例は、水力エネルギーの連鎖をよく示しています。
図に示すように、粒子の軌跡を追跡します：
- 位置Aでは、水粒子は貯水池の上流部でほぼ静止している。
- 位置Bでは、粒子はいくらかの速度を得ているが、その代償として位置エネルギーをいくらか失っており、これはBより上の自由表面がわずかに低下していることからわかる。
- 位置Cでは、粒子が流体に沿って自由落下軌道を描くため、より多くの位置エネルギーが運動エネルギーに変換されている。
- 落下する流れが下層のプールの水と接触すると、激しい運動量交換が起こり、初期の水力エネルギーのかなりの部分が乱流エネルギーカスケードと粘性プロセスによって熱として失われる。
- 位置Dでは、粒子は位置A、B、Cと比較して、より低い水力エネルギーで領域を離れる。
AからB、Cへと移動する間、粘性および乱流プロセスは通常、流れにほとんど影響を与えません。総水力エネルギーeGは、質量と同様に保存量として扱うことができ、必要に応じて小さな損失項を考慮に入れることができます。Cの下流では、この保存的な水力エネルギーのモデルは、より大きな大きさで流れに影響を与えるエネルギー損失項を考慮に入れることで拡張できます。
質量収支とエネルギー収支
コントロールボリューム
eGの輸送と質量密度ρの両方を監視する必要がある理由は後ほど明らかになりますが、ここではそれを当然のこととして扱う。流れによるeGと質量密度ρの輸送は、以下でCVと表記する制御体積とガウスの発散法則を用いることで容易に解析できる。
流れによるeGと質量密度ρの輸送は、以下CVと表記される制御体積とガウスの発散法則を用いることで容易に解析できます。
CVとは、以下の規則に従う限り、任意の定義面によって囲まれた体積のことです。
- 定義面は、自己交差しない限り、任意の形状であってもよい。
- 表面はパッチ状になっていても構わないが、各パッチは防水性の縁で互いに接続されている必要がある。
CV（制御容器）の体積は、容器内の質量やエネルギーなどの積分量や自己保存量を計算するために使用されます。
CVの表面は、流入および流出する流量を定義するために使用され、囲まれた量の収支を作成したり、それらの時間的変化を監視したりすることを可能にします。
図3は、落下する水の噴流の特性を解析するために使用できる制御体積の例を示しています。この制御体積への唯一の流入と流出は、左上から流入し、右下から流出する噴流そのものです。
FLOW-3D HYDRO における固定形状の制御ボリューム
FLOW-3D HYDRO では、3つの基本的な形状のフラックスバッフルを利用することで、形状と位置が固定された制御変数（CV）を簡単に定義できます。
- 球体とは、閉じた表面のことである。
- 両端が開いている円筒状の容器。両端が開いているため、両端から水が流れないように、流量制限範囲外に突き出すように注意する必要がある。
- 平面状の長方形パッチは、流れの領域全体または部分領域を横切るように配置することで、CV（制御変数）を組み立てるために使用できる。
図4は実際のモデルから抽出した例で、計算メッシュにレンダリングされた3種類のフラックスバッフルが示されています。これらは不透明にレンダリングされていますが、フラックス測定バッフルとしてのみ定義されている場合は、流れに対して完全に透過性があります。
(3) 
 図4．サンプルメッシュ内にレンダリングされた平面、円筒形、球形のフラックスバッフルの例
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 図5．管路または水圧管路を横断する一対の垂直断面を連結することによって定義される2つの制御体積。流れは全水頭に応じて色分けされている。
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図5は、平面バッフル面を使用して2つの制御体積を定義する方法を示しています。
- 制御体積DCは、6つの面を持つ細長い立方体形状である。向かい合う2つの面は、CとDと呼ばれるバッフルで、底面と上面は描かれており、流れ領域の上下に十分に位置していれば、その位置は重要ではない。前面と背面は立方体の残りの2つの面であり、流れ領域の前後に十分に位置していれば、その位置も重要ではない。
- 制御体積BAも同様に定義される。これは、自由表面流を含むサブドメインである入口ポータルの一部を囲んでいる。自由表面流は、面Bと面Aの流入量の差によって水位（および水量）の変化率が生じ、減衰が遅いか全く減衰しない振動が発生するため、真の定常状態にすることはより困難である。このような場合、質量とエネルギーの信頼できる収支は、流量の時系列を処理して特性の変化が定常状態となるエピソードを特定し、平均化することによって行われる。
図5の垂直フラックスバッフルは、利用可能な垂直面の組み合わせ（DB、DA、CB、CA）を使用して、他のいくつかのCVを定義するために使用できます。
エネルギー収支
水力エネルギー収支は、粘性熱の発生を損失として明示的に扱うため、定義上、漏れのある収支である。理想的には、水力エネルギーの流れは他の原因でエネルギーを失うことも、得ることもないはずです。しかし、数値モデルを用いた実際の実験では、少し異なる状況が示されます。どのような数値モデルにも、何らかの人工的な水力エネルギーの発生源または吸収源が存在します。
例えば、セルサイズがエネルギーを運ぶ流れの特徴よりも十分に小さい場合、計算メッシュと流れの干渉が生じます。セルサイズが十分に小さくない場合、速度コントラストは自然な流れよりも広い空間範囲に広がります。この広がりによって運動エネルギーはわずかに小さくなり、自然現象ではなくグリッド効果によるエネルギー散逸として作用します。
エネルギー収支を監視することで、モデルの信頼性に関する手がかりが得られ、異なるパラメータ値やグリッドセルサイズを用いたシミュレーション結果を比較することができます。人工的な増減が制御されている場合、水力エネルギーの散逸率は、数値モデルから得られる重要な結果の一つであり、設計上の差異を区別する上で重要となります。
全水頭
全水頭をエネルギー密度として表す全水頭（以下、hGと表記）は、式 1 の全水力エネルギーeGを (-gρ) で割るだけで高度に変換したものです。
(3)
以下の記号を除き、すべての記号は既に導入済みです。
hGは全水頭（m）です
全水頭は、以下の合計であるため「全水頭」と呼ばれます。
- ピエゾ水 頭 z + p/(-gρ)
- 運動エネルギー ヘッド u²/(-2g)
流れの中で測定されたピエゾ 水頭は 、水の局所的な自由表面の高さを示す良い指標と考えられています。
貯水池や河川の穏やかな区間では、流速が十分に低いため、運動エネルギーの水頭は無視できると考えられ、hGはピエゾ水頭 に等しいとみなされることがあります 。
全水頭hGは、時に停滞高さ とも呼ばれます 。流れの中にある流体粒子が与えられた場合、その粒子の速度がすべて突然上向きに向けられ、周囲の流体が障害物でなかった場合に到達する最終的な高さです。
全水頭hGは、橋脚や橋台など、水理設計において広く用いられる変数です。また、水路や水圧管路のように、水流のエネルギーを管理された方法で伝達または散逸させる必要がある場合には、そのエネルギーを表す変数としても用いられます。hGは、他の設計図における主要な高さと同じ高さスケールを用いて注釈として図面に表示できるため、好ましい変数と言えます。
全水頭の積分値からの水力エネルギー散逸
2つの流れ断面AとBの間で発生するエネルギー散逸に対する積分アプローチは、 流れの下向き方向におけるHGの減少から計算されます。
HGを用いてAとB間のエネルギー散逸を計算するには、まず各断面におけるHGの値に–ρgを乗じてエネルギー密度流に変換し、次にQを乗じて 総水力エネルギー流に変換します。体積流量Qが両方の断面で同じである場合、2つの断面のエネルギー流の差を取ると、流れが上流側の断面から下流側の断面に移動する際に発生する水力エネルギー損失が以下のように表されます。
ここで、新たに導入された記号は、以下の意味を持ちます。
例1 – 河川の分流
図6と図7は、トンネルを通る河川の分流を示しています。図には水のみが示されています。ダム建設現場では、ダムの基礎部分へのアクセスと建設を容易にするために、河川の分流が行われます。
この例では、水は左から右へ流れています。川は氾濫状態にあり、上流部へ大量の水が流れ込んでいます。流入量が分水路からの流出量を上回る場合、上流部に水が溜まり、水位が上昇します。水位の上昇はトンネル内の水圧を高め、トンネル内の流量を増加させ、上流部での水の蓄積量を減少させます。この負のフィードバックは最終的に均衡し、流入量と流出量が安定します。洪水時の水位は、建設現場の管理において非常に重要な懸念事項です。
 図6．トンネルを通る河川の分流。左から右へ流れ、流速に応じて色分けされている。
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 図7．同じ河川分水路を示し、水面と流量測定断面のみを表示している。
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上流部では、流入量と流出量の差に応じて水位が変動する体積バランスの例が見られます。同時に、トンネルを通過する流量は、上流端と下流端の間の圧力バランスによって決まり、トンネル壁面の摩擦と、通路沿いの個々の構造物や遷移部における流れのエネルギー損失が大きく影響します。図10は、 FLOW-3D HYDRO で フラックスバッフルと呼ばれる、多数の流量測定断面を示しています。その用途は多岐にわたります。
- 任意のモデル実行における流れの安定性を評価することは、さらなる分析のための有用な基礎となる。
- 水位と水力エネルギーの流れの縦断プロファイルをグラフ化および分析し、水力エネルギー散逸率など、さまざまな目的に利用する。
- 設計バリエーション間の詳細な比較を可能にする
- 流れの挙動が期待どおりであることを概ね検証し、放置すると流れの現実性を損なう可能性のある数値的なアーティファクトを検出して修正する。
例2 – 自然の岩盤表面上での高速自由走行
図8は、放水路の放水路と自然岩盤上の自由流の例を示しています。
このモデルは、地表面単位面積あたりの水力エネルギー散逸率を評価することを目的としていました。この散逸率（W/m²）は、自由流下における岩盤表面の侵食可能性を評価するための入力値として使用されました。
 図8は、フラックスバッフルがどのように使用されるかの例として、自然岩盤上の放水路を示す。地表面単位面積あたりの水力エネルギー散逸率を評価している。
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 図9。このシミュレーションは、エネルギー散逸の推定値を得るために、平面および円筒形の流れバッフルがどこに配置されたかを示している。
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図9は、工具自体の測定と放散率の評価に使用された計測装置を示している。メッシュブロックも図示されています。
所望の散逸率を測定するため、そして同様に重要なこととして、流れの質と測定ツールを評価するために、様々な平面型および円筒型のフラックスバッフルが使用されました。
平面状のフラックスバッフルを用いることで、制御体積を構築し、それを用いて体積流量の安定性や制御体積内のエネルギー散逸を監視することができる。放水路では、流れは側壁によってしっかりと囲まれ、断面全体にわたってほぼ均一である。エネルギー散逸率は25～50kW/m²程度でした。
放水ゲートの底部に円筒形の流量バッフルが設置されている。円筒を通過する平均体積流量は、通常の流量変動により時間とともに変化したが、適切な平均化間隔を取るとゼロに近づきました。バッフルを通過する正味の水力エネルギー流量について同じ平均値を取ると、予想通り負の値が得られ、これを面積で割ると約30 kW/m²となりました。放水路の終端付近にも、楕円形の水平断面に延長された別の円筒形の流量バッフルが設置され、そこで行われた同様の検証でも、同様の一致が示されました。
円筒形フローバッフルは、水力エネルギー散逸の測定において期待どおりに機能することが確認されました。次に、散逸が最も大きいと予想される下り斜面に設置された円筒形バッフルに注目しました。
図10は、放水路から自然岩盤表面への移行部付近、自由流域上に設置された円筒形バッフル3を通過する正味体積流量とエネルギー流量の時系列を示しています。この図から、両方の流量に大きな振幅の変動が見られ、その変動によって傾向がかなり隠されていることがわかります。
図10．第2例の円筒形フラックスバッフル3を通過する正味体積流量（m³/s）と正味水力エネルギー流量（W）の時間変化
図11は、図10の正味体積とエネルギー流束の時間積分を示しています。時間積分により、体積（m³）とエネルギー（J）の値が得られます。体積の時系列により、定常状態となる時間間隔を選択し、正味体積の変化がゼロに近くなるように積分時間境界を選択できます。エネルギーの時系列は、エネルギー散逸に予想されるように、規則的な下降傾向を示しています。この傾向の傾き（W/s）は、散逸率の推定値を与えます。次に、これを円筒形バッフルエンクロージャの底面の表面積で割ると、単位面積あたりの所望の散逸率が得られます。円筒の半径は、面積が100 m²に近くなるように選択されました。この場合、得られた散逸率は286 kW/m²でした。
図11．時間積分によって得られた、円筒形バッフルの体積と体積内の総エネルギーの時間変化。ゼロ値は初期値であり、未知数となるように、任意の値だけオフセットされている。
これらの結果は、他の分野のエンジニアとの議論に活用されました。流れの計算が気泡の混入を考慮せず、岩盤表面が予備的な推定に基づいていたことなど、いくつかの要因から不確実性の幅が大きいことが明らかになりました。また、水力エネルギーは岩盤ではなく水中で散逸し、最大散逸箇所が必ずしも岩盤への最大作用箇所と一致するとは限らないことも、モデラーによって指摘されました。上記で述べた詳細な分析は大きな負担でしたが、バッフルがモデラーにとって斬新な方法で使用されていたため、必要不可欠と判断されました。数値そのものよりも、分野横断的な議論と値の桁数こそが、このモデルから得られた最も有用な成果でした。
結論
FLOW-3D HYDRO のフラックスバッフルは、通過する体積流量と水力エネルギーの正味流量を正確に評価できます。その計算アルゴリズムは、制御体積法で使用される FLOW-3D HYDRO の基本数値スキームに合わせて精緻に調整されており、高い一貫性が求められる状況における質量保存則に関するFLOW-3D HYDRO自体の性能検証など、数多くの解析に適しています。
全水頭の計算方法は数多くありますが、これは土木・水理技術者にとってこの量が非常に有用であることを考えると当然のことです。FLOW-3D HYDROが提供する方法の1つは、バッフルの流路面積にわたって流量平均全水頭を計算することです。ここでは、特定の流路管を横切る 2 つの流量バッフルの値の差で測定された流れにおける水力エネルギー損失率が、ガウス発散定理によって原始的な流れ変数に関連付けられた制御体積アプローチで計算できる値と完全に一致することが示されています。